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$\bf命题1：$设$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加的数列,则$\lim \limits_{n \to \infty } {a_n} = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}$

证明：记

$$M = \mathop {Sup}\limits_{k \ge 1} \left\{ {{a_k}} \right\}$$
$\left( 1 \right)$当$M < + \infty $时,由上确界的定义知,对任给$\varepsilon > 0$,存在${a_N}$,使得
$$M - \varepsilon < {a_N} \le M$$
由于$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加数列,则当$n > N$时,有
$$M - \varepsilon < {a_N} \le {a_n} \le M < M + \varepsilon$$
从而由数列极限的定义即证

$\left( 2 \right)$当$M = + \infty $时,由上确界的定义知,对任给$\varepsilon > 0$,存在${a_N}$,使得

$${a_N} > \varepsilon$$
由于$\left\{ {{a_n}} \right\}$为单调增加数列,则当$n > N$时,有
$${a_n} \ge {a_N} > \varepsilon$$
从而由数列极限的定义即证

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