高中教育试讲

1.  一个凸$n$边型,任意三条对角线不共点,问所有的对角线把这个多边形内部分成了多少个区域?
解答:
去边法,现将这个多边形的对角线一条一条的去掉.
假设第一条对角线与其他内部对角线有$k_{1}$个交点,那么去掉它这个多边形内部减少$k_{1}+1$个;再去掉第二条，内部区域减少$k_{2}+1$个
去掉第三条，内部区域减少$k_{3}+1$个,$\cdots$,去掉第$\frac{n(n-3)}{2}$个,减少$k_{\frac{n(n-3)}{2}}+1$个.故多边形内部区域数为

$$N=1+\sum_{i=1}^{\frac{n(n-3)}{2}}(k_{i}+1)=1+\frac{n(n-3)}{2}+\sum_{i=1}^{\frac{n(n-3)}{2}}k_{i}$$
每个交点对应两条对角线,也就对应了四个顶点,故
$$\sum_{i=1}^{\frac{n(n-3)}{2}}k_{i}=C_{n}^{4}$$

2. 三个角$A,B,C$满足$\cos A+\cos B+\cos C=\sin A+\sin B+\sin C=0$.
证明：$\cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C$等于常数,并求出这个常数.(提示：利用复数.)

3. 记$Q_{1}=\{Q|x \geq 1\}$,设函数$f:Q_{1} \rightarrow R$对任意$x,y\in Q_{1}$满足不等式

$$|f(x+y)-f(x)-f(y)|<\varepsilon$$
这里$\varepsilon$是某个大于$0$的数.证明:存在$q\in R,$使得任意$x\in Q_{1}$都有
$$|\frac{f(x)}{x}-q|<2\varepsilon$$

4. 证明不等式

$$\frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+1}}{r+1}<n^{r}<\frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}$$

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