多面体与优化
多面体和优化有很大的关系,很多实际问题都可以形式化成和多面体或多面体函数相关的问题。此外,若一个问题的约束是多面体,则往往可以设计出比一般凸约束问题解法更好的优化算法,之前我们已经碰到过一些:
- 凹函数
f 若在凸集C 上不是常数函数,那么只可能在C 的相对边界上取得最小值(命题1.3.4)。 - 线性函数或凸二次函数
f 在多面体C 上有下界,那么f 可在C 上取得最小值(命题1.4.19)。
这一节我们更深入地介绍多面体在优化里的应用,尤其是线性规划(线性函数在多面体上的最小化问题)。线性规划里有一个经典结果:若多面体
命题2.4.1:集合n
证明:设?
∈C
?
?
∈ri(C)
?
?ri(C)
1
?
?
∈C
1
?
1
1
若?
∈ri(C∩H
1
)
1
1
1
1
?
?ri(C∩H
1
)
2
?
1
1
∩H
2
1
若?
∈ri(C∩H
1
∩H
2
)
1
∩H
2
1
∩…
?
1
∩?∩H
k
1
∩?∩H
k
1
∩?∩H
k
命题2.4.2[线性规划基本定理]:若多面体
证明:由于
上图展示了线性规划的两种可能:
- 约束集合
P 有极点,那么此时目标线性函数要么在P 上无下界,要么在P 的极点上取得最小值。例如设P =[0,∞) ,那么目标线性函数1?x 在P 的极点0 处取得最小值;目标线性函数0?x 在P 的任意一点处都取得最小值;目标线性函数?1?x 在P 上无下界,故在P 上无法取得最小值。 - 约束集合
P 没有极点,那么由命题2.1.2知P 包含直线,那么P 的回收锥的线性空间L 的维度大于P
0 ,若目标线性函数在P 有下界,那么由命题1.4.19知f 在P 上取得最小值。又f 在L 的所有方向上都必须是常数函数(否则P
f 无界),故取得最小值的点集是线性空间为L 的一个多面体,故取得最小值的点集是无界的。例如设P
P=R ,那么目标线性函数1?x 在P 上无下界,故在P 上无法取得最小值;目标线性函数0?x 在P 上取得最小值的点集就是P 。