康托展开

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个小的数可以这样考虑 ：

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个小的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个小数。

代码实现

#include<cstdio>
using namespace std;
int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
void cantor(int a[], int k) {//康托展开
	int i,j,tmp,num=0;
	for (i=0;i<k;i++) {
		tmp=0;
		for (j=i+1;j<k;j++)
			if(a[j]<a[i])
			tmp++;
		num+=fac[k-i-1]*tmp;
	}
	printf("%d\n",num);
}
void uncantor(int x, int k) {//康托逆展开
	int res[10];
	int i,j,l,t;
	bool h[20];
	for (i=1;i<=k;i++) {
		t=x/fac[k-i];
		x-=t*fac[k-i];
		for (j=1,l=0;l<=t;j++)
			if(!h[j])l++;
		j--;
		h[j]=true;
		res[i-1]=j;
	}
	for(i=0;i<k;i++)
		printf("%d",res[i]);
	printf("\n");
}
int main(){
	int a[]={1,2,3,4,5};
	uncantor(16,5);
	cantor(a,5);
	return 0;
}