九章算法面试题63 快速幂

九章算法官网-原文网址

http://www.jiuzhang.com/problem/64/

题目

计算(a^n)%b，其中a，b和n都是32位的整数。 例如 (2^31)%3 = 2。

在线测试本题

http://lintcode.com/zh-cn/problem/fast-power/

解答

首先我们要知道mod运算的一个定理：

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p  

由这个定理我们可以知道

原来a^n % b

1.如果n 为奇数可以转化为 (a^(n/2) * a^(n/2) *  a ) %b = ((a^(n/2)%b * a^(n/2)%b)%b * (a)%b) %b

2. 如果n 为偶数可以转化为   (a^(n/2) * a^(n/2) ) %b = (a^(n/2)%b * a^(n/2)%b)%b 

由于知道a^1 = a , a^0=1 ，

然后递归的去求a^n ,这样我们每次就二分n，那么我们的实际的时间复杂度是O(log(n))。

所以当n特别大的话，那么求幂就会变得特别快。