SVM支持向量机-拉格朗日，对偶算法的初解

许多地方得SVM讲得都很晦涩，不容易理解，最近看到一篇不错的博文写得很好，同时加上自己的理解，重新梳理一下知识要点

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17291543

一、引入

SVM是个分类器。我们知道，分类的目的是学会一个分类函数或分类模型（或者叫做分类器），该模型能把数据库中的数据项映射到给定类别中的某一个，从而可以用于预测未知类别。

对于用于分类的支持向量机，它是个二分类的分类模型。也就是说，给定一个包含正例和反例（正样本点和负样本点）的样本集合，支持向量机的目的是寻找一个超平面来对样本进行分割，把样本中的正例和反例用超平面分开，但是不是简单地分看，其原则是使正例和反例之间的间隔最大。学习的目标是在特征空间中找到一个分类超平面wx+b=0，分类面由法向量w和截距b决定。分类超平面将特征空间划分两部分，一部分是正类，一部分是负类。法向量指向的一侧是正类，另一侧为负类。这里有两点需要注意，类别为（+1，-1）而之前的逻辑回归算法中多为（+1,0）这里没有什么特别的原因，主要是计算的方便，还有超平面没有限制多少维，只要比数据维度低一维就可以了。

先给出一个简单的例子：

一看就知道黑线分割得最好，但是如果上升维数，就没那么容易理解了，所以需要数学建模

二、线性可分SVM与硬间隔最大化

SVM试图寻找一个超平面来对样本进行分割，把样本中的正例和反例用超平面分开，但是不是很敷衍地简单的分开，而是尽最大的努力使正例和反例之间的间隔margin最大。这样它的分类结果才更加可信，而且对于未知的新样本才有很好的分类预测能力

  我们的目标是寻找一个超平面，使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面，我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。而距离超平面最近的点就是支持向量

      假设我们有N个训练样本{(x₁, y₁),(x₂, y₂), …, (x_N, y_N)}，x是d维向量，而y_i?{+1, -1}是样本的标签，分别代表两个不同的类。

      这里我们需要用这些样本去训练学习一个线性分类器（超平面）：f(x)=sgn(w^Tx + b)，也就是w^Tx + b大于0的时候，输出+1，小于0的时候，输出-1。sgn()表示取符号。而g(x) =w^Tx + b=0就是我们要寻找的分类超平面，如上图所示。刚才说我们要怎么做了？我们需要这个超平面最大的分隔这两类。也就是这个分类面到这两个类的最近的那个样本的距离相同，而且最大。为了更好的说明，我们在上图中找到两个和这个超平面平行和距离相等的超平面：H₁: y = w^Tx + b=+1 和 H₂: y = w^Tx + b=-1。

       好了，这时候我们就需要两个条件：（1）没有任何样本在这两个平面之间；（2）这两个平面的距离需要最大。（对任何的H₁和H₂，我们都可以归一化系数向量w，这样就可以得到H₁和H₂表达式的右边分别是+1和-1了）。

先来看条件（2）。我们需要最大化这个距离，所以就存在一些样本处于这两条线上，他们叫支持向量（后面会说到他们的重要性）。那么它的距离是什么呢，两条平行线的距离的求法，例如ax+by=c1和ax+by=c2，那他们的距离是|c2-c1|/sqrt(x²+y²)（sqrt()表示开根号）。注意的是，这里的x和y都表示二维坐标。而用w来表示就是H₁:w₁x₁+w₂x₂=+1和H₂:w₁x₁+w₂x₂=-1，那H₁和H₂的距离就是|1+1|/ sqrt(w₁²+w₁²)=2/||w||。也就是w的模的倒数的两倍。也就是说，我们需要最大化margin=2/||w||，为了最大化这个距离，我们应该最小化||w||，看起来好简单哦。同时我们还需要满足条件（1），也就是同时要满足没有数据点分布在H₁和H₂之间：

      也就是，对于任何一个正样本y_i=+1，它都要处于H₁的右边，也就是要保证：y= w^Tx+ b>=+1。对于任何一个负样本y_i=-1，它都要处于H₂的左边，也就是要保证：y = w^Tx + b<=-1。这两个约束，其实可以合并成同一个式子：y_i (w^Tx_i + b)>=1。（这里解释了为什么样本为+1，-1）

      所以我们的问题就变成：

两个式子分别表示了，最大化支持向量与超平面的距离，在支持平面+1，-1区域内没有样本点

下面就进入带约束条件的最优化问题了

这是个凸二次规划问题。什么叫凸？凸集是指有这么一个点的集合，其中任取两个点连一条直线，这条线上的点仍然在这个集合内部，因此说“凸”是很形象的。例如下图，对于凸函数（在数学表示上，满足约束条件是仿射函数，也就是线性的Ax+b的形式）来说，局部最优就是全局最优，但对非凸函数来说就不是了。二次表示目标函数是自变量的二次函数。

      好了，既然是凸二次规划问题，就可以通过一些现成的 QP (Quadratic Programming) 的优化工具来得到最优解。所以，我们的问题到此为止就算全部解决了。虽然这个问题确实是一个标准的 QP 问题，但是它也有它的特殊结构，通过 Lagrange Duality 变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题之后，可以找到一种更加有效的方法来进行求解，而且通常情况下这种方法比直接使用通用的 QP 优化包进行优化要高效得多。也就说，除了用解决QP问题的常规方法之外，还可以应用拉格朗日对偶性，通过求解对偶问题得到最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一是对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。

先简单地说核函数的一个作用就是可以将一个低维的非线性数据映射成为高维的线性数据

三、Dual优化问题

3.1、对偶问题

       在约束最优化问题中，常常利用拉格朗日对偶性将原始问题转换为对偶问题，通过求解对偶问题而得到原始问题的解。至于这其中的原理和推导参考文献[3]讲得非常好。大家可以参考下。这里只将对偶问题是怎么操作的。假设我们的优化问题是：

min f(x)

s.t. h_i(x) = 0, i=1, 2, …,n

       这是个带等式约束的优化问题。我们引入拉格朗日乘子，得到拉格朗日函数为：

L(x, α)=f(x)+α₁h₁(x)+ α₂h₂(x)+…+α_nh_n(x)  

（拉格朗日函数将约束条件融入到表达式中，方便之后的处理）

       然后我们将拉格朗日函数对x求极值，也就是对x求导，导数为0，就可以得到α关于x的函数，然后再代入拉格朗日函数就变成：

max W(α) = L(x(α), α)

       这时候，带等式约束的优化问题就变成只有一个变量α（多个约束条件就是向量）的优化问题，这时候的求解就很简单了。同样是求导另其等于0，解出α即可。需要注意的是，我们把原始的问题叫做primal problem，转换后的形式叫做dual problem。需要注意的是，原始问题是最小化，转化为对偶问题后就变成了求最大值了。对于不等式约束，其实是同样的操作。简单地来说，通过给每一个约束条件加上一个 Lagrange multiplier（拉格朗日乘子），我们可以将约束条件融和到目标函数里去，这样求解优化问题就会更加容易。（这里其实涉及到很多蛮有趣的东西的，大家可以参考更多的博文）

 

3.2、SVM优化的对偶问题

       对于SVM，前面提到，其primal problem是以下形式：

       同样的方法引入拉格朗日乘子，我们就可以得到以下拉格朗日函数：

（这里感觉应该是+b写错了）

        然后对L(w, b, α)分别求w和b的极值。也就是L(w, b,α)对w和b的梯度为0：?L/?w=0和?L/?b=0，还需要满足α>=0。求解这里导数为0的式子可以得到：

       然后再代入拉格朗日函数后，就变成：

        这个就是dual problem（如果我们知道α，我们就知道了w。反过来，如果我们知道w，也可以知道α）。这时候我们就变成了求对α的极大，即是关于对偶变量α的优化问题（没有了变量w，b，只有α）。当求解得到最优的α*后，就可以同样代入到上面的公式，导出w*和b*了，最终得出分离超平面和分类决策函数。也就是训练好了SVM。那来一个新的样本x后，就可以这样分类了：

       在这里，其实很多的α_i都是0，也就是说w只是一些少量样本的线性加权值。这种“稀疏”的表示实际上看成是KNN的数据压缩的版本。也就是说，以后新来的要分类的样本首先根据w和b做一次线性运算，然后看求的结果是大于0还是小于0来判断正例还是负例。现在有了α_i，我们不需要求出w，只需将新来的样本和训练数据中的所有样本做内积和即可。那有人会说，与前面所有的样本都做运算是不是太耗时了？其实不然，我们从KKT条件中得到，只有支持向量的α_i不为0，其他情况α_i都是0。因此，我们只需求新来的样本和支持向量的内积，然后运算即可。这种写法为下面要提到的核函数（kernel）做了很好的铺垫。如下图所示：

 

四、松弛向量与软间隔最大化（Good）

       我们之前讨论的情况都是建立在样本的分布比较优雅和线性可分的假设上，在这种情况下可以找到近乎完美的超平面对两类样本进行分离。但如果遇到下面这两种情况呢？左图，负类的一个样本点A不太合群，跑到正类这边了，这时候如果按上面的确定分类面的方法，那么就会得到左图中红色这条分类边界，嗯，看起来不太爽，好像全世界都在将就A一样。还有就是遇到右图的这种情况。正类的一个点和负类的一个点都跑到了别人家门口，这时候就找不到一条直线来将他们分开了，那这时候怎么办呢？我们真的要对这些零丁的不太听话的离群点屈服和将就吗？就因为他们的不完美改变我们原来完美的分界面会不会得不偿失呢？但又不得不考虑他们，那怎样才能折中呢？

       对于上面说的这种偏离正常位置很远的数据点，我们称之为 outlier，它有可能是采集训练样本的时候的噪声，也有可能是某个标数据的大叔打瞌睡标错了，把正样本标成负样本了。那一般来说，如果我们直接忽略它，原来的分隔超平面还是挺好的，但是由于这个 outlier 的出现，导致分隔超平面不得不被挤歪了，同时 margin 也相应变小了。当然，更严重的情况是，如果出现右图的这种outlier，我们将无法构造出能将数据线性分开的超平面来。

      为了处理这种情况，我们允许数据点在一定程度上偏离超平面。也就是允许一些点跑到H₁和H₂之间，也就是他们到分类面的间隔会小于1。如下图：

ξ_{i : 引入的松弛因子，就是允许样本点在超平面之间的一些相对偏移}

_{C：惩罚因子：如果有一定得偏移量，那么将这个因子加到拉格朗日的式子当中，在求||w||最小值的计算当中增加惩罚}

       具体来说，原来的约束条件就变为：

        这时候，我们在目标函数里面增加一个惩罚项，新的模型就变成（也称软间隔）：

       引入非负参数ξ_i后（称为松弛变量），就允许某些样本点的函数间隔小于1，即在最大间隔区间里面，或者函数间隔是负数，即样本点在对方的区域中。而放松限制条件后，我们需要重新调整目标函数，以对离群点进行处罚，目标函数后面加上的第二项就表示离群点越多，目标函数值越大，而我们要求的是尽可能小的目标函数值。这里的C是离群点的权重，C越大表明离群点对目标函数影响越大，也就是越不希望看到离群点。这时候，间隔也会很小。我们看到，目标函数控制了离群点的数目和程度，使大部分样本点仍然遵守限制条件。

        这时候，经过同样的推导过程，我们的对偶优化问题变成：

       此时，我们发现没有了参数ξ_i，与之前模型唯一不同在于α_i又多了α_i<=C的限制条件。需要提醒的是，b的求值公式也发生了改变，改变结果在SMO算法里面介绍。