二分查找法基本原理和实践
概述
前面算法系列文章有写过分治算法基本原理和实践，对于分治算法主要是理解递归的过程。二分法是分治算法的一种，相比分治算法会简单很多，因为少了递归的存在。
在计算机科学中，二分查找算法（英语：binary search algorithm），也称折半搜索算法（英语：half-interval search algorithm）、对数搜索算法（英语：logarithmic search algorithm）[2]，是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。搜索过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。
二分查找算法在情况下的复杂度是对数时间。二分查找算法使用常数空间，无论对任何大小的输入数据，算法使用的空间都是一样的。除非输入数据数量很少，否则二分查找算法比线性搜索更快，但数组必须事先被排序。尽管特定的、为了快速搜索而设计的数据结构更有效（比如哈希表），二分查找算法应用面更广。
二分查找算法有许多中变种。比如分散层叠可以提升在多个数组中对同一个数值的搜索。分散层叠有效的解决了计算几何学和其他领域的许多搜索问题。指数搜索将二分查找算法拓宽到无边界的列表。二叉搜索树和B树数据结构就是基于二分查找算法的。
入门 demo
对二分法的概念了解后，下面来看一道示例：
153. 寻找旋转排序数组中的最小值
已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：
若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]
注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。
给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的最小元素 。
示例 1：
输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。
示例 2：
输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。
示例 3：
输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。
提示：
n == nums.length
1 <= n <= 5000
-5000 <= nums[i] <= 5000
nums 中的所有整数 互不相同
nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转
下面来看一下我写的一个失败版的答案，此时的我还没入门二分法：
class Solution { public int findMin(int[] nums) { int left = 0; int right = nums.length-1; while (left<=right) { int middle = left + (right -left)/2; if (nums[middle] > nums[left]) { left = middle + 1; }else { right = right-1; } } return nums[left]; } }
输入：[4,5,6,7,8,9,10,0,1,2,3]
输出：10
结果：0
可以看到结果是不对，那这里的问题是什么呢？都说失败是成功之母，我们只有分析清楚为啥我们的解法会存在问题，才能更好地明白二分法的精髓。
先从答案分析，这里输出 10，为啥会是 10。
看上面这张图，代码逻辑写的是 middle > left，那么 left = middle +1； 这个逻辑这么写是没有问题的。
接着看，当不满足 middle > left，说明 middle 处于最小值的右半部分，这时候我们让 right--。那如果 right 就是最小值呢，这时候就会错过最小值。
还有如果 middle 是最大值呢？那么 left= middle +1 就是最小值，此时你再去计算 middle ，就直接把最小值错过了。比如输入数组：[5,6,7,8,9,0,1,2,3,4]；
还要考虑一种特殊情况，如果此时只有两个元素了，有两种情况 [1，2]，[2，1] ，这时候如果按照 right--，就会直接取到第一个元素。所以在 middle 和 left 相等的时候也要在做额外的判断。
完整版通过代码如下：
class Solution { public int findMin(int[] nums) { int left = 0; int right = nums.length-1; while (left<right) { int middle = left + (right -left)/2; if (nums[middle] > nums[left] && nums[middle] > nums[right]) { left = middle +1;
// 说明最小值就在最右边，此时处于只有两个元素的时候 } else if(middle == left && nums[left] > nums[right]) { left = right; } else { right = right-1; } } return nums[left]; } }
当你看到这段代码后，你懵逼了，这还是二分法嘛，分析下来这么复杂。
那我们来看下官方给的代码：
class Solution { public int findMin(int[] nums) { int low = 0; int high = nums.length - 1; while (low < high) { int pivot = low + (high - low) / 2;
// 最小值一定是在和 high 在一个区间内的，所以这里要判断 pivot 和 high 的大小关系，不能去判断和 low 的关系 if (nums[pivot] < nums[high]) { high = pivot; } else { low = pivot + 1; } } return nums[low]; } }
是不是觉得官方代码简洁易懂。
那为啥这两个解法的代码会差这么多，答案在于 middle 到底是应该和 left 比较，还是应该和 right 比较。
这也说明了方向的选择的重要性。可是我们应该怎么选择呢。这个主要是在分析问题的时候要想清楚。个人觉得也可以这么理解：
本题是找最小值的。从最小值到最右端，这其实就是单调递增的，因此我们只要关注右半部分，抛弃左半部分就好。
那么本题错误原因就是跟左边进行比较，你再怎么找，最后得出值都不在这一部分上，就导致你得添加很多额外的逻辑来确保可以找到值。
PS：对于二分法要时刻关注只有两个元素的情况。这时候 middle = left。这时候注意 left 和 right 之间的关系。
通过这道题目相信大家已经对二分法有一定的认识了。
二分法思想
二分查找的思想就一个：逐渐缩小搜索区间。 如下图所示，它像极了「双指针」算法，left 和 right 向中间走，直到它们重合在一起：
根据看到的中间位置的元素的值 nums[mid] 可以把待搜索区间分为三个部分：
- 情况 1：如果 nums[mid] = target，这时候我们直接返回即可。
- 情况 2： target 在 mid 左半部分 [left..mid - 1]，此时分别设置 right = mid - 1 ；
- 情况 3： target 在 mid 右半部分 [mid+1..right]，此时分别设置 left = mid + 1。
这样就可以获得二分法基本模板：
class Solution { public int search(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; // 确保 left 和 right 都在数组可取范围内 while (left <= right) { // < 还是 <= 按照自己的习惯即可 int mid = left + (right -left)/2; if (nums[mid] == target) { // 找到结果就返回 return mid; }else if(nums[mid] > target) { right = mid-1; } else { left = mid +1; } }
// 退出循环就说明没找到 return -1; } }
虽然我们看到的写法有很多，但思想就这一个；为什么总是有朋友觉得二分难？因为有很多二分的写法，虽然都对，但是对于新手朋友们来说有一定干扰，因为不同的写法其实对应着不同的前提和应用场景，比起套用模板，审题、练习和思考更重要。「二分查找」就几行代码，完全不需要记忆，也不应该用记忆的方式解题.
下面解释一些细节：
1、模板的结束条件是 left <= right ，也就是结果一定是在 while 里面找到的。否则就是没找到。
2、有些学习资料上说 while (left < right) 表示区间是 [left..rihgt) ，为什么你这里是 [left..rihgt]？
区间的右端点到底是开还是闭，完全由编写代码的人决定，不需要固定。主要还是看你 left 和 right 的取值。 如果 right = nums.length ; 那么其实 right 这个位置是取不到的，也就是开区间了。所以开闭就是看点位能不能取到。
3、有些学习资料给出了三种模板，例如「力扣」推出的 LeetBook 之 「二分查找专题」，应该如何看待它们？
回答：三种模板其实区别仅在于退出循环的时候，区间 [left..right] 里有几个数。
-
while (left <= right) ：退出循环的时候，right 在左，left 在右，区间为空区间，所以要讨论返回 left 和 right；
-
while (left < right) ：退出循环的时候，left 与 right 重合，区间里只有一个元素，这一点是我们很喜欢的；
-
while (left + 1 < right) ：退出循环的时候，left 在左，right 在右，区间里有 2 个元素，需要编写专门的逻辑。这种写法在设置 left 和 right 的时候不需要加 1 和减 1。
看似简化了思考的难度，但实际上屏蔽了我们应该且完全可以分析清楚的细节。退出循环以后一定要讨论返回哪一个，也增加了编码的难度。
我个人的经验是：
-
while (left <= right) 用在要找的数的性质简单的时候，把区间分成三个部分，在循环体内就可以返回；
-
while (left < right) 用在要找的数的性质复杂的时候，把区间分成两个部分，在退出循环以后才可以返回；
-
完全不用 while (left + 1 < right) ，理由是不会使得问题变得更简单，反而很累赘。
很多题目在二分法的基础上有变化，我们要学会灵活变化。还要理解题意。
示例：
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。
示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5 输出: 2
示例 2:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2 输出: 1
示例 3:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7 输出: 4
示例 4:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 0 输出: 0
示例 5:
输入: nums = [1], target = 0 输出: 0
提示:
1 <= nums.length <= 104-104 <= nums[i] <= 104nums为无重复元素的升序排列数组-104 <= target <= 104
class Solution { public int searchInsert(int[] nums, int target) { int left =0; int right = nums.length -1; while (left<=right) { int mid = left + (right-left)/2; if (nums[mid] == target) { return mid; } if (nums[mid]>target) { right = mid-1; }else { left = mid+1; } } // 没找到，那么 left 就是它所处的位置 return left; } }
注意一点：二分法只是用于有序数组，如果是无序的，此时是无法确定边界的，这时候我们就需要自己创造条件，找到数组的有序部分。
比如下面两道，大家可以自己找二分法题目去练习。
33. 搜索旋转排序数组
81. 搜索旋转排序数组 II
关于二分法的理论就讲到这里了，剩下的就是靠大家多多练习了。
算法系列文章：
参考文章
https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/solution/te-bie-hao-yong-de-er-fen-cha-fa-fa-mo-ban-python-/