c++ 中的下三角阵矩阵元标记

时间：2021-06-30 17:52:18 收藏：0 阅读：0

若有一个下三角阵，不包括对角元，其矩阵元为

\[A_{ij}, ~~~~ i = 1, \cdots, n-1, ~~~~ j=0,\cdots, i-1. \]

那么，可以用一维数组储存这些矩阵元：

\[a[k] = A_{ij}, ~~~ k = i(i-1)/2 + j. \]

这样可以将 \(k=0,\cdots,n(n-1)/2-1\) 与 \((i,j)\) 实现一一对应，如此可以紧凑地储存下三角阵。如果需要包括对角元，我相信稍微调整一下上式，也可以类似地实现。

那么，如果已知 \(k\)，欲求 \(i,j\)，则可以如下使用：

\[i = [ \sqrt{2k+0.25}+0.75 ],~~ j = k - i(i-1)/2. \]

证明如下：

\[i(i-1)/2 \leq k \leq k + i-1, \i^2-i+0.25 \leq 2k + 0.25 \leq i^2 - 0.75 < i^2, \i-0.5 \leq \sqrt{ 2k+0.25 } < i, \i+0.25 \leq \sqrt{ 2k+0.25 } + 0.75 < i + 0.75, \i = [ \sqrt{ 2k+0.25 } + 0.75 ], j = k - i(i-1)/2. \]

鸣谢我雷哥，发现之前的漏洞，已修复。