Decision Tree 决策树

决策树的定义和直观解释

决策树定义

决策树是一类常见的机器学习方法。本质就是一棵树，这棵树表示的含义如下：

• 每个非叶子结点对应一个判定问题
• 每个叶子结点对应一个决策结果
• 每一条从根到叶的路径对应一个完整的决策过程

决策树模型的特点

优点

1. 可解释性极强，常用于医疗诊断等领域
2. 计算复杂度低
3. 可以处理不同类型的数据，包括离散值和连续值

缺点

1. 容易过拟合，需要配合剪枝策略

不是一点点容易，真的是非常容易，因为只要有一个 outlier 就会导致决策树继续分支，最后会非常复杂。

划分指标

决策树的划分目的，是使得每个结点所包含的样本尽量属于同一类别，即“纯度” (purity)。衡量集合纯度最常用的指标是信息熵

信息熵越小，纯度越高

1. 信息增益 (information gain)

   \[Gain(D, a) = Ent(D) - \sum_{v=1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}Ent(D^v) \]

   衡量划分后纯度的变化。不同子集合信息熵通过加权平均的方式汇总。缺点是对可取值较多的属性有偏好。

2. 信息增益率 (information gain ratio)

   \[Gain\_ratio(D, a) = \frac{Gain(D, a)}{IV(a)}\IV(a)=-\sum_{v=1}^{V}\frac{|D^v|}{|D|}\log_2\frac{|D^v|}{|D|} \]

   \(IV(a)\)称为 a 的固有值(intrinsic value)。增益率对可取值较少的属性有偏好。

3. 基尼指数 (Gini index)

   \[Gini(D) = \sum_{k=1}^{|{\mathcal Y}|} \sum_{k‘\ne k}p_kp_{k‘} = 1 - \sum_{k=1}^{|{\mathcal Y}|}p_k^2\Gini\_index(D, a) = \sum_{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}Gini(D^v) \]

其实熵 (Ent) 和基尼值 (Gini) 是很类似的东西，从表达式中就可以看出：

熵就是 \(-\sum p\log p\)，基尼值就是 \(-\sum p^2\)，都是越小越好。二者只是对纯度的敏感程度不一样。

同理基尼指数也会对可取值较多的属性有偏好。

剪枝策略 (pruning)

剪枝策略是决策树学习算法处理过拟合的主要手段，分为预剪枝和后剪枝。两种剪枝策略都是基于泛化能力（验证集结果）进行的。

预剪枝

• 在决策树生成过程中进行
• 对于某一个划分，如果划分后验证集上的准确率有提升，就进行划分；反之若划分后验证集上的准确率下降，就不进行划分
• 优点：显著减小训练时间开销
• 缺点：本质是一种贪心策略，忽视了后续划分对泛化能力的提升，训练出的决策树往往较小，可能造成欠拟合。

后剪枝

• 在决策树生成后进行
• 剪枝方法同上，不过是自下而上剪枝
• 优点：通常比预剪枝保留更多的分支，欠拟合风险很小
• 缺点：训练开销比预剪枝，甚至未剪枝要大得多

连续值和缺失值处理

连续值处理

• 可在训练过程中使用二分法划分连续属性

• 连续属性可以出现在多次出现在后代中，比如使用两次二分法实现三分类。

  graph TB; A(x<=0?)--Y-->B(x<=0) A--N-->C(x<=10?) C--Y-->D(0< x<=10) C--N-->E(x>10)

缺失值处理

确实值处理需要面对两个问题：

1. 训练过程中，如何选择划分属性 - 调整信息增益（率）的计算方式。只有存在的值能够用来计算信息增益。
2. 预测过程中，如何划分缺值样本 - 将预测结果变为一个概率分布。缺失值可能是该属性的任意一个值，可利用该属性的分布估计不同状态下的预测结果。

训练算法

决策树有一些常用的训练算法，是对以上知识点的整合应用。例如 CART，ID3，C4.5

*多变量决策树

一般的决策树，每个结点只考虑一个属性，决策边界是垂直于坐标轴的；如果每个结点考虑多个属性，实现一个线性分类器，那么决策边界就能更好的拟合结果。本质类似一个树状的多层感知机。