数据结构：二 算法

1. 定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

2. 五个基本特性

输入和输出

• 算法具有零个或多个输入
• 算法至少有一个或多个输出

有穷性

• 指算法在执行有限的步骤后，自动结束而不会出现循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成
• 实际应用中合理的，可以接受的“有边界”

确定性

• 算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性
• 算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果，每个步骤被精确定义无歧义

可行性

• 算法的每一步都必须是可行的，即每一步都能够通过执行有限次数完成

3. 设计的要求

正确性

• 指算法至少应该具有输入，输出和加工处理无歧义性，能够正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案

• 四个层次

  • 算法程序没有语法错误
  • 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果
  • 算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格要求的结果
  • 算法程序对于精心选择的测试数据都有满足要求的输出结果

可读性

• 算法设计的另一目的是为了便于阅读，理解和交流

健壮性

• 当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名奇妙的结果

时间效率高和存储量低

• 时间效率指的是算法的执行时间
• 存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间
• 设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求

4. 算法效率的度量方法

事后统计方法

• 这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计数器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低
• 缺陷：依赖硬件和软件等环境因素，测试数据设计困难

事前分析估算方法

• 在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算

• 运行消耗时间的影响因素

  • 算法采用的策略，方法

    • 算法好坏的根本

  • 编译产生的代码质量

    • 由软件来支持

  • 问题的输入规模

    • 输入规模是指输入量的多少

  • 机器执行指令的速度

    • 由硬件性能决定

• 抛开与软硬件有关的因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模

• 测定运行时间最可靠的方法就是计算对运行时间有消耗的基本操作的执行次数，运行时间与这个计数成正比

• 在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤

  • 把基本操作的数量与输入规模关联起来，即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数

5. 函数的渐近增长

给定两个函数 f(n) 和 g(n)，如果存在一个整数 N，使得对于所有的 n>N ，f(n) 总是比 g(n) 大，那么我们说 f(n) 的增长渐近快于 g(n)

最高次项的指数大的，函数随着 n 的增长，结果也会变得增长特别快

判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，更应关注最高阶项的阶数

某个算法，随着 n 的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法

6. 算法时间复杂度

定义

• 在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n) 是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定 T(n) 的数量级。
• 算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f(n))。
• 它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数
• 一般随着 n 的增大，T(n) 增长最慢的算法为最优算法

推导大O阶方法

• 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
• 若最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项相乘的常数

7. 常见的时间复杂度

常数阶：O(1)

• 顺序结构的时间复杂度

线性阶：O(n)

• for 循环结构的时间复杂度

对数阶：O(logn)

• while 循环结构的时间复杂度

平方阶：O(n^2)

• 两个 for 循环嵌套

常见时间复杂度消耗时间

• O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2^n) < 0(n!) < O(n^n)

8. 最坏情况与平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了

我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间

9. 算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现

算法空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))

n 为问题的规模，f(n) 为语句关于 n 所占存储空间的函数

算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为 O(1)