BP公式推导

bp算法通过loss计算得到的误差，从最后的输出层，通过loss不断的向后，对能影响到loss变化的传播路径中各个隐藏层的神经元的输入和输出函数求偏导，更新目标权重的一个过程。
具体的计算方式如下。
先来构建一个网络图，然后我们定义一些数学符号

其中

• \(w_{ij}^{l}\) 表示 第\(l\)层中的第\(j\)个神经元与前一层第\(i\)个神经元之间的连接权重
• \(z_{i}^{l}\)表示 第\(l\)层中第\(i\)个神经元的输入
• \(a_{i}^{l}\)表示 第\(l\)层中第\(i\)个神经元的输出
• \(f\) 代表激活函数
  其中需要注意的是，每一个神经元内部的结构有输入和输出，求偏导的时候，要分别考虑到它的输入和输出。如下所示：
  

接下来我们看一下求BP的时候，需要的一些公式和知识点，loss我们使用mse代替，因为好算

我们以求解第1层第一个神经元的权重\(w_{11}^{1}\)为例子，红色箭头表示其会通过那些路径影响倒loss，反过来，loss也是通过原路径去影响到这个权重

那么链式求导的公式为

注意此处输出层并未被激活，所以我们忽略loss对输出的求导，否则loss还需要对\(\sigma(z)\) 求一次导

对于其他层的权重，链式求导方式为