免费馅饼

时间：2020-06-30 12:42:17 收藏：0 阅读：45

免费馅饼 (dp $\star$)

$SERKOI$ 最新推出了一种叫做“免费馅饼”的游戏:
- 游戏在一个舞台上进行。舞台的宽度为 $W$ 格，天幕的高度为 $H$ 格，游戏者占一格。
- 开始时游戏者站在舞台的正中央，手里拿着一个托盘。下图为天幕的高度为 $4$ 格时某一个时刻游戏者接馅饼的情景。
游戏开始后，从舞台天幕顶端的格子中不断出现馅饼并垂直下落。游戏者左右移动去接馅饼。游戏者每秒可以向左或向右移动一格或两格，也可以站在原地不动。
馅饼有很多种，游戏者事先根据自己的口味，对各种馅饼依次打了分。同时，在 $8-308$ 电脑的遥控下，各种馅饼下落的速度也是不一样的，下落速度以格/秒为单位。
当馅饼在某一秒末恰好到达游戏者所在的格子中，游戏者就收集到了这块馅饼。
写一个程序，帮助我们的游戏者收集馅饼，使得所收集馅饼的分数之和最大。

Input

输入文件的第一行是用空格隔开的两个正整数，分别给出了舞台的宽度 $W$（$1$ 到 $99$ 之间的奇数）和高度 $H$（ $1$ 到 $100$ 之间的整数）。
接下来依馅饼的初始下落时间顺序给出了所有馅饼的信息。每一行给出了一块馅饼的信息。由四个正整数组成，分别表示了馅饼的初始下落时刻（$0$ 到 $1000$ 秒），水平位置、下落速度（$1$ 到 $100$）以及分值。游戏开始时刻为 $0$。从 $1$ 开始自左向右依次对水平方向的每格编号。
输入文件中同一行相邻两项之间用一个或多个空格隔开。

Output

输出文件的第一行给出了一个正整数，表示你的程序所收集的最大分数之和。
其后的每一行依时间顺序给出了游戏者每秒的决策。
- 输出 $0$ 表示原地不动、$1$ 或 $2$ 表示向右移动一步或两步、$-1$ 或 $-2$ 表示向左移动一步或两步。
- 输出应持续到游戏者收集完他要收集的最后一块馅饼为止。
注意：
1. 输出数字的字典序最小的方案。
2. 馅饼可以掉到高度小于 $1$ 的格子（例：速度为 $5$ 的馅饼，从高度 $4$ 处掉到高度 $-1$ 处，而不是高度 $1$）

Sample Input

Sample Output

Hint

馅饼个数 $\in [0,2500]$
来源：$2017小假期集训 $$20180505$

分析

一道移动DP题。这题初看无从下手，馅饼和人都在移动，但仔细分析可得：定馅饼不动，由人移动去接馅饼。
但要想好两点：
1. 只有高度可以被下落速度整除时，该馅饼才有可能被接到，所以很多馅饼是废的。
2. 时间可以当做纵坐标轴来处理，即。
设 $f[i][j]$ ，$i$ 表示时刻，$j$ 表示 $x$ 坐标。用 $k$ 枚举移动的距离（$k$ 可为$-2，-1,0,1,2$）。
动态转移方程：$f[i][j]=max(f[i-1][j+k]+a[i][j])$;

Code

#include <bits/stdc++.h> 
const int maxn=2500+5;
int w,h,n,Time; 
int f[maxn][101]; 
int c[maxn],x[maxn],t[maxn],v[maxn];
void Read(){
    scanf("%d%d",&w,&h); 
    h--;//馅饼就在最高一格出现 
    int T,X,V,C;
    while(scanf("%d%d%d%d",&T,&X,&V,&C)==4){ 
        if(h%V==0){//到达不了舞台的不用管 
            t[++n]=T+h/V;
            x[n]=X;v[n]=V;c[n]=C; 
            Time=std::max(Time,t[n]);//记录最大的到达舞台的馅饼时间 
        } 
    }     
    memset(f,0,sizeof(f));
}
int mx(int i,int j){ 
    int ans=0; 
    for(int k=-2;k<=2;++k){
        if(j+k<0 || j+k>w)continue;
        ans=std::max(ans,f[i+1][j+k]);
    }    
    return ans; 
} 
void Solve(){
    if(!n){//n==0说明没有一个能掉到舞台的
        printf("0\n");return;
    }     
    for(int i=1;i<=n;i++)//初始化
        f[t[i]][x[i]]+=c[i];//有可能不同时刻的馅饼可能同时掉在舞台同一个位置 
    for(int i=Time-1;i>=0;i--)//从上往下好处理 
       for(int j=w;j>0;j--) //因为转移是有范围的
          f[i][j]+=mx(i,j);  
    printf("%d\n",f[0][w/2+1]);
}
int main(){ 
    Read();
    Solve();
    return 0; 
}

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