论OI中各种玄学卡常

时间：2018-07-19 21:06:02 收藏：0 阅读：10715

当你在写程序的时候一般出现过这种无比悲剧的情况：

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你讨厌卡常？下面有二则小故事：

作为一个经常出题的人，其实很多时候出题时的画风是这样的：“我有一个绝妙的$O(nlog^2n)$的算法，我来出道题吧”“咦怎么只能跑 $5w$ 啊，好咸鱼啊，我要让它能跑 $10w$，嗯现在 $10w$ 只要 $0.3s$ 了，要不努把力跑个 $20w$ 吧”然后就没有然后了..

开O2之后FFT会比不开快几倍？

不开$O2$：$NTT$比$FFT$快
开$O2$：$FFT$比$NTT$快。。。。。

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我们作为$OIer$，在$OI$中卡常数可以说是必备技巧。在此总结一下我所知卡常数的神奇手法：

什么是卡常数？

程序被卡常数，一般指程序虽然渐进复杂度可以接受，但是由于实现/算法本身的时间常数因子较大，使得无法在$OI/ACM$等算法竞赛规定的时限内运行结束。

卡常数被称为计算机算法竞赛之中最神奇的一类数字，主要特点集中于令人捉摸不透，有时候会让水平很高的选手迷之超时或者超空间。
普遍认为卡常数是埃及人$Qa'a$及后人发现的常数。也可认为是卡普雷卡尔($Kaprekar$)常数的别称。主要用于求解括号序列问题。

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$Time$ $is$ $the$ $most$ $precious$ $asset$ $of$ $all$ $wealth.$ —— $Deoflasdo$

时间是一切财富中最宝贵的财富。 —— 德奥弗拉斯多

下面的内容不完全是卡常数，但可以优化程序。

读入优化

读入优化是卡常数最重要的一条！一般用于读入整数

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

输出优化不常用，但是当你认为你的程序慢的话，还是用上为好

inline void write(int x)
{
     if(x<0) putchar('-'),x=-x;
     if(x>9) write(x/10);
     putchar(x%10+'0');
}

函数优化

在声明函数之前写上$inline$，可以加快一下函数调用，但只能用于一些操作简单、调用频繁的函数。涉及递归，大号的循环等很复杂的函数，编译器会自动忽略$inline$。
尽量减少值传递，多用引用来传递参数。至于其中的原因，相信大家也很清楚，如果参数是int等语言自定义的类型可能能性能的影响还不是很大，但是如果参数是一个类的对象，那么其效率问题就不言而喻了。
如果你在比赛中如果实在不能优化了还没把握通过的话，可以自己手写一下库函数(尤其是$STL$里的)，因为没空氧气优化库函数常数会凭空增加很多。

定义优化

在定义变量前写上$register$，用于把变量放到$CPU$寄存器中，适用于一些使用频繁的变量（比如循环变量），但寄存器空间有限，如果放得变量太多，多余变量就会被放到一般内存中。如果太太多，速度可能变慢。

那么快到什么境界？

register int a=0;
for(register int i=1;i<=999999999;i++)
a++;

int b=0;
for(int i=1;i<=999999999;i++)
b++;

优化：$0.2826$ $sec$

不优化：$1.944$ $sec$

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。。。。。

局部与静态变量

很多人认为局部变量在使用到时才会在内存中分配储存单元，而静态变量在程序的一开始便存在于内存中，所以使用静态变量的效率应该比局部变量高，其实这是一个误区，使用局部变量的效率比使用静态变量要高。

这是因为局部变量是存在于堆栈中的，对其空间的分配仅仅是修改一次$esp$寄存器的内容即可（即使定义一组局部变量也是修改一次）。而局部变量存在于堆栈中最大的好处是，函数能重复使用内存，当一个函数调用完毕时，退出程序堆栈，内存空间被回收，当新的函数被调用时，局部变量又可以重新使用相同的地址。当一块数据被反复读写，其数据会留在$CPU$的一级缓存（$Cache$）中，访问速度非常快。而静态变量却不存在于堆栈中。

可以说静态变量是低效的。

初始化

推荐直接初始化

与直接初始化对应的是复制初始化，什么是直接初始化？什么又是复制初始化？举个简单的例子，

ClassTest ct1;
ClassTest ct2(ct1);  //直接初始化
ClassTest ct3 = ct1;  //复制初始化

那么直接初始化与复制初始化又有什么不同呢？直接初始化是直接以一个对象来构造另一个对象，如用$ct1$来构造$ct2$，复制初始化是先构造一个对象，再把另一个对象值复制给这个对象，如先构造一个对象$ct3$，再把$ct1$中的成员变量的值复制给$ct3$，从这里，可以看出直接初始化的效率更高一点，而且使用直接初始化还是一个好处，就是对于不能进行复制操作的对象，如流对象，是不能使用赋值初始化的，只能进行直接初始化。

另外：在初始化$Floyd$或者其他类似的东西

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        gra[i][j]=inf
for(int i=1;i<=b;i++)
    gra[i][i]=0

是比

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        if(i==j) gra[i][j]=0;
        else gra[i][j]=inf
    }

快的（测试大约$1$是$2$的$80$%的时间）

原因后者每次都要判断

其他

不要开$bool$，所有$bool$改成$char$，$int$是最快的(原因不明)。

尽量不用$double$，能用$char$就别用$string$。

对于一个值的重复运算，存入临时变量中。

如果你知道要处理的值是非负数的，使用无符号整数

循环优化

循环展开

循环展开也许只是表面，在缓存和寄存器允许的情况下一条语句内大量的展开运算会刺激 $CPU$ 并发(前提是你的 $CPU$ 不是某 $CPU$)...

减少了不直接有助于程序结果的操作的数量，例如循环索引计算和分支条件。
提供了一些方法，可以进一步变化代码，减少整个计算中关键路径上的操作数量。
用法（下面是一个将一个$int$ 类型数组初始化为$0$的代码段）：

void Init_Array(int *dest, int n)
{
    int i;
    for(i = 0; i < n; i++)
        dest[i] = 0;
}

而如果用循环展开的话，代码如下:

void Init_Array(int *dest, int n)
{
    int i;
    int limit = n - 3;
    for(i = 0; i < limit; i+= 4)//每次迭代处理4个元素
    {
        dest[i] = 0;
        dest[i + 1] = 0;
        dest[i + 2] = 0;
        dest[i + 3] = 0;
    }
    for(; i < n; i++)//将剩余未处理的元素再依次初始化
        dest[i] = 0;
}

循环引发的讨论

请看下面的两段代码，
代码1：

for(int i = 0; i < n; ++i)
{
  fun1();
  fun2();
}

代码2：

for(int i = 0; i < n; ++i)
{
  fun1();
}
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
  fun2();
}

注：这里的$fun1()$和$fun2()$是没有关联的，即两段代码所产生的结果是一样的。

以代码的层面上来看，似乎是代码$1$的效率更高，因为毕竟代码$1$少了$n$次的自加运算和判断，毕竟自加运算和判断也是需要时间的。但是现实真的是这样吗？

这就要看$fun1$和$fun2$这两个函数的规模（或复杂性）了，如果这多个函数的代码语句很少，则代码$1$的运行效率高一些，但是若$fun1$和$fun2$的语句有很多，规模较大，则代码$2$的运行效率会比代码$1$显著高得多。可能你不明白这是为什么，要说是为什么这要由计算机的硬件说起。

由于$CPU$只能从内存在读取数据，而$CPU$的运算速度远远大于内存，所以为了提高程序的运行速度有效地利用$CPU$的能力，在内存与$CPU$之间有一个叫$Cache$的存储器，它的速度接近$CPU$。而$Cache$中的数据是从内存中加载而来的，这个过程需要访问内存，速度较慢。

这里先说说$Cache$的设计原理，就是时间局部性和空间局部性。时间局部性是指如果一个存储单元被访问，则可能该单元会很快被再次访问，这是因为程序存在着循环。空间局部性是指如果一个储存单元被访问，则该单元邻近的单元也可能很快被访问，这是因为程序中大部分指令是顺序存储、顺序执行的，数据也一般也是以向量、数组、树、表等形式簇聚在一起的。

看到这里你可能已经明白其中的原因了。没错，就是这样！如果$fun1$和$fun2$的代码量很大，例如都大于$Cache$的容量，则在代码$1$中，就不能充分利用$Cache$了（由时间局部性和空间局部性可知），因为每循环一次，都要把$Cache$中的内容踢出，重新从内存中加载另一个函数的代码指令和数据，而代码2则更很好地利用了$Cache$，利用两个循环语句，每个循环所用到的数据几乎都已加载到$Cache$中，每次循环都可从$Cache$中读写数据，访问内存较少，速度较快，理论上来说只需要完全踢出$fun1$的数据$1$次即可。

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取模优化

//设模数为 mod
inline int inc(int x,int v,int mod){x+=v;return x>=mod?x-mod:x;}//代替取模+
inline int dec(int x,int v,int mod){x-=v;return x<0?x+mod:x;}//代替取模-

前置自增

后置 $++$ 与$--$需要保存临时变量以返回之前的值，在 $STL$ 中非常慢。事实上，$int$ 的后置 $++$ 与$--$在实测中也比前置 $++$ 与$--$慢 $0.5$ 倍左右.

选择结构优化

$if()$ $else$语句比$()?():()$语句要慢，逗号运算符比分号运算符要快。

另外，在一个逻辑条件语句中常数项永远在左侧。

除法运算优化

无论是整数还是浮点数运算，除法都是一件运算速度很慢的指令，在计算机中实现除法是比较复杂的。所以要减少除法运算的次数，下面介绍一些简单方法来提高效率：

通过数学的方法，把除法变为乘法运算，如if$(a > b/c)$,如果$a$、$b$、$c$都是正数，则可写成$if(a*c > b)$
让编译器有优化的余地，如里你要做的运算是$in$t型的$n/8$的话，写成$(unsigned)n/8$有利于编译器的优化。而要让编译器有优化的余地，则除数必须为常数，而这也可以用$const$修饰一个变量来达到目的。

位运算优化

内容比较多，但是对程序的优化很大，建议大家学一下。

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乘以$2$运算

int mulTwo(int n){//计算n*2 
    return n << 1;
}

除以$2$运算

int divTwo(int n){//负奇数的运算不可用
    return n >> 1;//除以2
}

乘以$2$的$m$次方

int mulTwoPower(int n,int m){//计算n*(2^m)
    return n << m;
}

除以$2$的$m$次方

int divTwoPower(int n,int m){//计算n/(2^m)
    return n >> m;
}

判断一个数的奇偶性

boolean isOddNumber(int n){
    return (n & 1) == 1;
}

取绝对值（某些机器上，效率比$n>0$ $?$ $n:-n$ 高）

int abs(int n){
return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
/* n>>31 取得n的符号，若n为正数，n>>31等于0，若n为负数，n>>31等于-1
若n为正数 n^0=0,数不变，若n为负数有n^-1 需要计算n和-1的补码，然后进行异或运算，
结果n变号并且为n的绝对值减1，再减去-1就是绝对值 */
}

取两个数的最大值（某些机器上，效率比$a>b$ $?$ $a:b$高）

int max(int a,int b){
    return b & ((a-b) >> 31) | a & (~(a-b) >> 31);
    /*如果a>=b,(a-b)>>31为0，否则为-1*/
}

取两个数的最小值（某些机器上，效率比$a>b$ $?$ $b:a$高）

int min(int a,int b){
    return a & ((a-b) >> 31) | b & (~(a-b) >> 31);
    /*如果a>=b,(a-b)>>31为0，否则为-1*/
}

判断符号是否相同

boolean isSameSign(int x, int y){ //有0的情况例外
    return (x ^ y) >= 0; // true 表示 x和y有相同的符号， false表示x，y有相反的符号。
}

计算$2$的$n$次方

int getFactorialofTwo(int n){//n > 0
    return 2 << (n-1);//2的n次方
}

判断一个数是不是$2$的幂

boolean isFactorialofTwo(int n){
    return n > 0 ? (n & (n - 1)) == 0 : false;
    /*如果是2的幂，n一定是100... n-1就是1111....
       所以做与运算结果为0*/
}

对$2$的$n$次方取余

int quyu(int m,int n){//n为2的次方
    return m & (n - 1);
    /*如果是2的幂，n一定是100... n-1就是1111....
     所以做与运算结果保留m在n范围的非0的位*/
}

求两个整数的平均值

int getAverage(int x, int y){
        return (x + y) >> 1; 
｝

定义常量优化

在进行较大数字时，可以#define一下例如某道题中需要多次$mod$:

$mod=10^9+7$

如果您将$mod$作为一个$long$ $long$ 或者是$int$变量来打，那么恭喜您$TLE$($3518ms$，时限$3s$)

而如果把$1000000007$换成了#const int $mod$ $1000000007 $

那么您的程序就是$AC$了($2398ms$，时限$3s$)

那么#define在定义数组大小的时候是首选

$const$在运算（比如$mod$）是首选

数组优化

- $C++$里面$STL$自带的$vector$存取效率不高，在可能的情况下用指针数组代替会大幅提高性能。
关于$memset$和$memcpy$以及$memmove$

这几个函数效率都非常高，比循环的速度快很多

其实用法也很简单，比如原来是这样的

`for(int i=l;i<=r;++i) a[i]=0; for(int i=l;i<=r;++i) a[i]=b[i]; for(int i=l;l<=r;++i) a[i]=b[i],b[i]=0;
我们可以优化成

memset(a+l,0,r-l+1<<2);
memcpy(a+l,b+l,r-l+1<<2);
memmove(a+l,b+l,r-l+1<<2);

注意，左移的位数和$a$，$b$的类型有关，这里默认为$int$，$sizeof(int)=4$，所以就是左移$2$（乘$4$）
如果不知道$a$，$b$类型所占字节数，可以改成如下

memset(a+l,0,(r-l+1)*sizeof(a[0]));
memcpy(a+l,b+l,(r-l+1)*sizeof(a[0]));
memmove(a+l,b+l,(r-l+1)*sizeof(a[0]));

注意：

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$register$变量不能开太多，它本身也优化不了多少，再出点什么事情可就真$GG$了，暂时用不到的变量不要过早的初始化，它会存在你的缓存里，如果之后继续调用该变量，速度会较快但若在之后调用许多其他变量，则会将该变量清出你的缓存，之后再有对该变量的操作时，则会花费比从缓存中调用较长的时间调用该变量
在遍历高维数组时，并在定义数组时将元素多的维度放在靠前的位置，将循环次数多的维度放在外层，可减少一定的运行时间。高维数组在内存中都是线性安放的，在C语言中，按照的是行优先顺序，就像上面提到的。当我们使用行优先顺序遍历数组时，恰好就是顺次访问内存数据，会非常有利于$CPU$高速缓存的工作
循环变量开为形如$register$ $int$ $i$的形式，看上去是一个优化，但事实上，编译器并不傻，它会在汇编中给你搞成$register$。同样的，循环变量在自增/自减时，写为形如$++i/--i$的形式，它看上去也是对$i++$的一种优化，但在汇编中，它也相应的优化成的类似$++i$的操作.