经典算法宝典——迭代思想(二)(1)
迭代法（Iteration）也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。
说明：
迭代算法一般用于数值计算，比如累加、累乘都是迭代算法策略的基础应用。
利用迭代算法策略求解问题，设计工作主要有3步。
(1)确定迭代模型
根据问题描述，分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型。当然这样的迭代关系，最终会迭代出求解的目标。确定迭代模型是解决迭代问题的关键。
(2)建立迭代关系式
递推数学模型一般是带下标的字母，算法设计中要将其转化为“循环不变式”——迭代关系式。迭代关系式就是一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的表达式，存储新值的变量称为迭代变量。迭代关系式的建立是迭代算法设计的主要工作。
(3)对迭代过程进行控制
确定在什么时候结束迭代过程，是设计迭代算法时必须考虑的问题，迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是已知或可以计算出来所需迭代次数，这时可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。另一种是所需的迭代次数无法确定，需要分析出迭代过程的结束条件，甚至于要考虑有可能得不到目标解（迭代不收敛）的情况，避免出现迭代过程的死循环。
总结：
迭代模型是通过小规模问题的解逐步求解大规模问题的解，表面看正好与递归算法设计相反，但也找到了大规模问题与小规模问题的关系。
1、递推法
(1)兔子繁殖问题
一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问1年中每个月各有多少只兔子。
数学建模：
y(1) = y(2) = 1，y(n) = y(n-1) + y(n-2)，n = 3, 4, 5...到此发现这个数列就是著名的斐波那契数列。当n趋于无穷时，斐波那契数列前后两项的商（y(n-1) / y(n)）趋于黄金分割数0.618。
算法实现：
#include<stdio.h>
void main()
{
int i, c, a = 1, b = 1;
printf("%d\n", a);
printf("%d\n", b);
for(i = 1; i <= 10; i++)
{
c = a + b;
printf("%d\n", c);
a = b;
b = c;
}
}
结果输出：
总结：
递推（Recursion）算法是迭代算法的最基本的表现形式。一般来讲，一种简单的递推方式，是从小规模的问题推解出大规模问题的一种方法，也称其为“正推”。
2、倒推法
(1)猴子吃桃问题
一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃子的一半多一个，到第10天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃子？
数学模型：
a(i) = (1 + a(i+1)) * 2, i = 9, 8, 7, 6, ..., 1
说明：
a(i)表示第i天的桃子数。
算法实现：
#include<stdio.h>
void main()
{
int i, a = 1;
for(i = 9; i >= 1; i--)
a = (a+1) * 2;
printf("%d\n", a);
}结果输出：
总结：
倒推法（Inverted Recursion）是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的，从后向前推解问题的方法。