最大子数组和（最大子段和）
比如对于数组[1,-2,3,5,-1,2] 最大子数组和是sum[3,5,-1,2] = 9, 我们要求函数输出子数组和的最大值,并且返回子数组的左右边界(下面函数的left和right参数).
本文我们规定当数组中所有数都小于0时，返回数组中最大的数（也可以规定返回0，只要让以下代码中maxsum初始化为0即可，此时我们要注意-1 0 0 0 -2这种情形，特别是如果要求输出子数组的起始位置时，如果是面试就要和面试官问清楚）
以下代码我们在PAT 1007. Maximum Subsequence Sum测试通过,测试main函数如下
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int main(){ int
n; scanf("%d", &n); vector<int>vec(n); for(int
i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &vec[i]); int
left, right; int
maxsum = maxSum1(vec, left, right);//测试时替换函数名称 if(maxsum >= 0) printf("%d %d %d", maxsum, vec[left], vec[right]); else
printf("0 %d %d", vec[0], vec[n-1]);} |
参考：编程之美2.14 求数组的子数组之和的最大值
算法1：最简单的就是穷举所有的子数组，然后求和，复杂度是O（n^3）
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int maxSum1(vector<int>&vec, int
&left, int
&right){ int
maxsum = INT_MIN, sum = 0; for(int
i = 0; i < vec.size(); i++) for(int
k = i; k < vec.size(); k++) { sum = 0; for(int
j = i; j <= k; j++) sum += vec[j]; if(sum > maxsum) { maxsum = sum; left = i; right = k; } } return
maxsum;} |
算法2: 上面代码第三重循环做了很多的重复工作,稍稍改进如下,复杂度为O(n^2)
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int maxSum2(vector<int>&vec, int
&left, int
&right){ int
maxsum = INT_MIN, sum = 0; for(int
i = 0; i < vec.size(); i++) { sum = 0; for(int
k = i; k < vec.size(); k++) { sum += vec[k]; if(sum > maxsum) { maxsum = sum; left = i; right = k; } } } return
maxsum;} |
算法3: 分治法, 下面贴上编程之美的解释, 复杂度为O(nlogn)
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//求数组vec【start，end】的最大子数组和，最大子数组边界为[left，right]int maxSum3(vector<int>&vec, const
int start, const
int end, int
&left, int
&right){ if(start == end) { left = start; right = left; return
vec[start]; } int
middle = start + ((end - start)>>1); int
lleft, lright, rleft, rright; int
maxLeft = maxSum3(vec, start, middle, lleft, lright);//左半部分最大和 int
maxRight = maxSum3(vec, middle+1, end, rleft, rright);//右半部分最大和 int
maxLeftBoeder = vec[middle], maxRightBorder = vec[middle+1], mleft = middle, mright = middle+1; int
tmp = vec[middle]; for(int
i = middle-1; i >= start; i--) { tmp += vec[i]; if(tmp > maxLeftBoeder) { maxLeftBoeder = tmp; mleft = i; } } tmp = vec[middle+1]; for(int
i = middle+2; i <= end; i++) { tmp += vec[i]; if(tmp > maxRightBorder) { maxRightBorder = tmp; mright = i; } } int
res = max(max(maxLeft, maxRight), maxLeftBoeder+maxRightBorder); if(res == maxLeft) { left = lleft; right = lright; } else
if(res == maxLeftBoeder+maxRightBorder) { left = mleft; right = mright; } else { left = rleft; right = rright; } return
res;} |
算法4: 动态规划, 数组为vec[]，设dp[i] 是以vec[i]结尾的子数组的最大和，对于元素vec[i+1], 它有两种选择：a、vec[i+1]接着前面的子数组构成最大和，b、vec[i+1]自己单独构成子数组。则dp[i+1] = max{dp[i]+vec[i+1], vec[i+1]}
如果不考虑记录最大子数组的位置，于是有以下代码： 本文地址
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int maxSum_(vector<int>&vec){ int
maxsum = INT_MIN, sum = 0; for(int
i = 0; i < vec.size(); i++) { sum = max(sum + vec[i], vec[i]); maxsum = max(maxsum, sum); } return
maxsum;} |
对以上代码换个写法，并记录最大子数组的位置
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int maxSum4(vector<int>&vec, int
&left, int&right){ int
maxsum = INT_MIN, sum = 0; int
begin = 0; for(int
i = 0; i < vec.size(); i++) { if(sum >= 0) { sum += vec[i]; } else { sum = vec[i]; begin = i; } if(maxsum < sum) { maxsum = sum; left = begin; right = i; } } return
maxsum;} |
如果数组是循环的，该如何呢
这时分两种情形（图中红色方框表示求得的最大子数组，left、right分别是子数组的开始和结尾）：
（1）如下图最大的子数组没有跨过vec[n-1]到vec[0], 这就是每循环的情况
（2）如下图，最大的子数组跨过vec[n-1]到vec[0]
对于第二种情形，相当于从原数组中挖掉了一块(vec[right+1], …, vec[left-1]) ,那么我们只要使挖掉的和最小即可，求最小子数组和最大子数组类似，代码如下，以下代码在九度oj1572首尾相连数组的最大子数组和通过测试（测试需要，以下代码当数组全是负数时，输出0）：
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int maxSumCycle(vector<int>&vec, int
&left, int&right){ int
maxsum = INT_MIN, curMaxSum = 0; int
minsum = INT_MAX, curMinSum = 0; int
sum = 0; int
begin_max = 0, begin_min = 0; int
minLeft, minRight; for(int
i = 0; i < vec.size(); i++) { sum += vec[i]; if(curMaxSum >= 0) { curMaxSum += vec[i]; } else { curMaxSum = vec[i]; begin_max = i; } if(maxsum < curMaxSum) { maxsum = curMaxSum; left = begin_max; right = i; } ///////////////求和最小的子数组 if(curMinSum <= 0) { curMinSum += vec[i]; } else { curMinSum = vec[i]; begin_min = i; } if(minsum > curMinSum) { minsum = curMinSum; minLeft = begin_min; minRight = i; } } if(maxsum >= sum - minsum) return
maxsum; else { left = minRight+1; right = minLeft-1; return
sum - minsum; }} |
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