AVL树

时间：2014-05-10 09:57:21 收藏：0 阅读：406

一棵AVL树是其每个节点的左子树和右子树的高度最多差1的二叉查找树。实际高度只比logN多以一点，和普通二叉查找树相比，平衡二叉搜索树一般而言搜寻时间可节省25%左右（STL源码剖析P203）。

只有那些从插入点到根节点的路径上的节点的平衡可能被改变，因为只有这些节点的子树可能发生变化。

把需要重新平衡的节点称为a（左右子树高度差大于1）。注意，确定这个节点很重要，否则无法确定是下列哪一种情况。

造成不平衡的4种插入情况：

来一张维基百科的图，图中有一个错误，后两种情况的Root因该标在树的根上：

《算法设计与分析基础》中的一句话：

如果有若干个节点的平衡因子大于1，先找出最靠近新插入的叶子的不平衡节点，然后再旋转以该节点为根的树。

在程序设计中，和二叉查找树一样，通常使用递归地方法实现AVL树。

部分代码如下：

#include <stdio.h>

typedef int ElementType;

typedef struct AvlNode *Position;

typedef struct AvlNode *AvlTree;

struct AvlNode {

    ElementType Element;

    AvlTree Left;

    AvlTree Right;

    int Height;

};

int Max(int x, int y)

{

    return x > y ? x : y;

}

// 获得节点高度

int Height(Position p)

{

    if (p == NULL)

        return -1;

    else

        return p->Height;

}

// T跟左儿子进行右旋转

Position RightSingleRotate(Position T)

{

    Position NewRoot;

    NewRoot = T->Left;

    T->Left = NewRoot->Right;

    NewRoot->Right = T;

    // 修改高度

    T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;

    NewRoot->Height = Max(Height(NewRoot->Left), T->Height) + 1;

    return NewRoot;

}

// T跟右儿子进行左旋转

Position LeftSingleRotate(Position T)

{

    Position NewRoot;

    NewRoot = T->Right;

    T->Right = NewRoot->Left;

    NewRoot->Left = T;

    // 修改高度

    T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;

    NewRoot->Height = Max(Height(NewRoot->Right), T->Height) + 1;

    return NewRoot;

}

Position DoubleRotateWithLeft(Position T)

{

    // 先左旋转

    T->Left = LeftSingleRotate(T->Left);

    // 再右旋转

    return RightSingleRotate(T);

}

Position DoubleRotateWithRight(Position T)

{

    // 先右旋转

    T->Right = RightSingleRotate(T->Right);

    // 再左旋转

    return LeftSingleRotate(T);

}

AvlTree Insert(AvlTree T, ElementType x)

{

    if (T == NULL)

{

        T = malloc(sizeof(struct AvlNode));

        if (T == NULL)

            return -1;

        T->Element = x;

        T->Left = T->Right = NULL;

        T->Height = 0;

}

    else if (x < T->Element)

{

        T->Left = Insert(T->Left, x);

        if (Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2)

            if (x < T->Left->Element)

                T = RightSingleRotate(T);       // 左-左：右单旋转

            else

                T = DoubleRotateWithLeft(T);    // 左-右：左右双旋转

}

    else if (x > T->Element)

{

        T->Right = Insert(T->Right, x);

        if (Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2)

            if (x > T->Right->Element)

                T = LeftSingleRotate(T);        // 右-右：左单旋转

            else

                T = DoubleRotateWithRight(T);   // 右-左：右左双旋转

}

    T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1; // 调整高度

    return T;

}

void MiddleTraversal(AvlTree T)

{

    if (T == NULL)

        return;

    MiddleTraversal(T->Left);

    printf("%d ", T->Element);

    MiddleTraversal(T->Right);

}

int main()

{

    AvlTree tree = NULL;

    int i;

    for (i = 1; i <= 16; i++)

        tree = Insert(tree, i);

    MiddleTraversal(tree);

    return 0;

}

参考：

《数据结构于算法分析》 P80.

《STL源码剖析》 P203.