98

$\bf命题1：$设$A,B$实对称且$A$正定，则$AB$相似于对角阵

方法一：由$A$正定知，存在正定阵$C$，使得$A = {C^2}$，于是
\[AB = {C^2}B = C\left( {CBC} \right){C^{ - 1}}\]
由$C$实对称知$CBC$实对称，则存在正交阵$Q$，使得
\[{Q^{ - 1}}\left( {CBC} \right)Q = diag\left( {{\lambda _1}, \cdots {\lambda _n}} \right)\]
从而可知结论成立

98,布布扣,bubuko.com